Question

12．已知函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)y=g（x）的圖象在x=$\frac{1}{e}$處的切線方程；
（Ⅱ）令f（x）=ax²+bx-x•（g（x））（a，b∈R）．
①若a≥0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②設(shè)a＞0，且對任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與-2b的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算g′（$\frac{1}{e}$）和g（$\frac{1}{e}$）代入切線方程求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，①通過討論a的范圍以及b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；②求出函數(shù)的極小值點，得到b=1-2a，通過討論x的范圍判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$$g'（\frac{1}{e}）=\frac{1+1}{{\frac{1}{e^2}}}=2{e^2}$，$g（\frac{1}{e}）=-e$
所以切線方程為$y+e=2{e^2}（x-\frac{1}{e}）$即2e²x-y-3e=0…（3分）
（Ⅱ）由f（x）=ax²+bx-lnx，x∈（0，+∞），得f'（x）=$\frac{{2a{x^2}+bx-1}}{x}$．
①（i）當a=0時，f'（x）=$\frac{bx-1}{x}$．
若b≤0，當x＞0時，f'（x）＜0恒成立，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）．
若b＞0，當0＜x＜$\frac{1}$時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當x＞$\frac{1}$時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{1}$，+∞）…（6分）
（ii）當a＞0時，令f'（x）=0，得2ax²+bx-1=0．
由△=b²+8a＞0得x₁=$\frac{{-b-\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$，x₂=$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$．
顯然，x₁＜0，x₂＞0．
當0＜x＜x₂時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當x＞x₂時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，x₂），單調(diào)遞增區(qū)間是（x₂，+∞）．…（9分）
綜上所述，
當a=0，b≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當a=0，b＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，$\frac{1}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（$\frac{1}$，+∞）；
當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，x₂），單調(diào)遞增區(qū)間是（x₂，+∞）．…（10分）
②由題意，函數(shù)f（x）在x=1處取得最小值，
由（1）知$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$是f（x）的唯一極小值點，
故$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$=1，整理得2a+b=1，即b=1-2a．
令ϕ（x）=2-4x+lnx，則ϕ'（x）=$\frac{1-4x}{x}$，ϕ'（x）=0，得x=$\frac{1}{4}$．
當0＜x＜$\frac{1}{4}$時，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）單調(diào)遞增；
當x＞$\frac{1}{4}$時，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）單調(diào)遞減．
因此ϕ（x）≤$ϕ（\frac{1}{4}）$=1+$ln\frac{1}{4}$=1-ln4＜0，
故ϕ（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，
即lna=-2b．…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．