Question

6．已知函數f（x）=2x³-3x²-12x
（1）求f（x）=2x³-3x²-12x的極值；
（2）設函數g（x）=2x³-3x²-12x+a的圖象與x軸有兩個交點，求a的值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），令f′（x）=0，得x=-1，2．列出表格，由表知，當x=-1時，f（x）有極大值7，當x=2時，f（x）有極小值-20．
（2）由（1）知當x=-1時，g（x）有極大值a+7；當x=2時，g（x）有極小值a-20．當g（x）的極大值或極小值為0時，函數g（x）=2x³-3x²-12x+a的圖象與x軸有兩個交點，可得a+7=0或a-20=0．

解答 解：（1）f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2），令f′（x）=0，得x=-1，2．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數+	7	減函數-	-20	增函數+

由表知，當x=-1時，f（x）有極大值7，當x=2時，f（x）有極小值-20．
（2）

x	…	-2	-1	0	1	2	3	…
f（x）	…	-4	7	0	-13	-20	-9	…

由（1）知當x=-1時，g（x）有極大值a+7；當x=2時，g（x）有極小值a-20．
當g（x）的極大值或極小值為0時，函數g（x）=2x³-3x²-12x+a的圖象與x軸有兩個交點，即a=-7或a=20．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與圖象，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．