Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx
（1）當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$ax²+bx+$\frac{a}{x}$．對(duì)任意x∈（0，3]，總有F′（x）≤$\frac{1}{2}$成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥x0-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$在x₀∈（0，3]上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一實(shí)數(shù)解，令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），求出g（x）的最值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{2x}$，
易知f（x）在（0，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減，
故f（x）的最大值為f（1）=-$\frac{3}{4}$．（6分）
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，F(xiàn)′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
由題意 $\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，x₀∈（0，3]恒成立，即a≥x0-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知當(dāng)x₀=1時(shí)，x₀-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$取得最大值$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$；
（3）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，f（x）=lnx+x，
由f（x）=mx，得lnx+x=mx，
又x＞0，于是m=1+$\frac{lnx}{x}$，
要使方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]上有唯一實(shí)數(shù)解，
只需m=1+$\frac{lnx}{x}$有唯一實(shí)數(shù)解，
令g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），于是g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
于是g（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，e²]上是減函數(shù)，
g（1）=1，g（e²）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
故m=1+$\frac{1}{e}$或1≤m＜1+$\frac{2}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)的切線斜率，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．