Question

8．從某校高三的學生中隨機抽取了100名學生，統計了某次數學模考考試成績如表：

分組	頻數	頻率
[100，110）	5	0.050
[110，120）	①	0.200
[120，130）	35	②
[130，140）	30	0.300
[140，150]	10	0.100

（1）請在頻率分布表中的①、②位置上填上相應的數據，并在給定的坐標系中作出
這些數據的頻率分布直方圖，再根據頻率分布直方圖估計這100名學生的平均成績；
（2）從這100名學生中，采用分層抽樣的方法已抽取了20名同學參加“希望杯數學競賽”，現需要選取其中3名同學代表高三年級到外校交流，記這3名學生中“期中考試成績低于120分”的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）根據頻數之和為100，頻率之和為1計算①②，作出頻率分布直方圖，利用組中值代替每小組的平均數計算平均數；
（2）根據分層原理計算選出的20名學生中成績低于120分的人數，利用超幾何分布計算概率得出分布列，再計算數學期望．

解答 解：（1）100-（5+35+30+10）=20，
1-0.05-0.2-0.3-0.1=0.35．
頻率分布表為：

分組	頻數	頻率
[100，110）	5	0.05
[110，120）	20	0.2
[120，130）	35	0.35
[130，140）	30	0.3
[140，150]	10	0.1

頻率分布直方圖為：

平均成績?yōu)?05×0.05+115×0.2+125×0.35+135×0.3+145×0.1=127分．
（2）成績低于120分的人數為20×（0.05+0.2）=5人，不低于120分的人數為15人，
∴ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
且P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{91}{228}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{35}{76}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{5}{38}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{1}{114}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{91}{228}$	$\frac{35}{76}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{1}{114}$

∴Eξ=0×$\frac{91}{228}$+1×$\frac{35}{76}$+2×$\frac{5}{38}$+3×$\frac{1}{114}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于中檔題．