第17講   導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法

一、專題綜述

1.導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題:

(1)刻畫函數(shù)(比初等方法精確細(xì)微);(2)同幾何中切線聯(lián)系(導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線);(3)應(yīng)用問題(初等方法往往技巧性要求較高,而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便)等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。

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2.關(guān)于函數(shù)特征,最值問題較多,所以有必要專項(xiàng)討論,導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。

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3.導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型,也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向,應(yīng)引起注意。

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二、知識(shí)整合

1.導(dǎo)數(shù)概念的理解.

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2.利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問題的最大值與最小值.

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例,引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,接下來對(duì)法則進(jìn)行了證明。

3要能正確求導(dǎo),必須做到以下兩點(diǎn):

(1)熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

(2)對(duì)于一個(gè)復(fù)合函數(shù),一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系,弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)。

4求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行:

(1)適當(dāng)選定中間變量,正確分解復(fù)合關(guān)系;(2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo));(3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。

也就是說,首先,選定中間變量,分解復(fù)合關(guān)系,說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ),μ=f(x);然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo),中間變量對(duì)自變量求導(dǎo);最后求,并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解――求導(dǎo)――回代。熟練以后,可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合,可以相應(yīng)地多次用中間變量。

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三、例題分析

例1.   在處可導(dǎo),則            

思路:   在處可導(dǎo),必連續(xù)          ∴

        ∴    

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例2.已知f(x)在x=a處可導(dǎo),且f′(a)=b,求下列極限:

 。1);  (2)

  分析:在導(dǎo)數(shù)定義中,增量△x的形式是多種多樣,但不論△x選擇哪種形式,△y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件,可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

  解:(1)

  

 。2)

  

說明:只有深刻理解概念的本質(zhì),才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形,使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

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例3.觀察,,,是否可判斷,可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

解:若為偶函數(shù)        令

   

               

∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

    另證:

∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

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例4.(1)求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程;

 。2)運(yùn)動(dòng)曲線方程為,求t=3時(shí)的速度。

  分析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知,函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

  解:(1),

  ,即曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率k=0

  因此曲線在(1,1)處的切線方程為y=1

 。2)

  。

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例5. 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間

(1)      (2)

(3)                (4)

解:(1)  時(shí)

   ∴ , 

(2)   ∴ ,

(3) 

∴      

∴ ,   ,

(4)  定義域?yàn)?/p>

           

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例6.求證下列不等式

(1) 

(2) 

(3) 

證:(1)  

∴ 為上    ∴    恒成立

∴     

∴ 在上  ∴  恒成立

(2)原式   令     

∴    ∴     

       ∴

(3)令  

     ∴

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例7.利用導(dǎo)數(shù)求和:

 。1);

 。2)。

  分析:這兩個(gè)問題可分別通過錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度,由求導(dǎo)公式,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡(jiǎn)捷。

  解:(1)當(dāng)x=1時(shí),

  ;

  當(dāng)x≠1時(shí),

  ∵,

  兩邊都是關(guān)于x的函數(shù),求導(dǎo)得

  

  即

 。2)∵,

  兩邊都是關(guān)于x的函數(shù),求導(dǎo)得。

  令x=1得

  ,

  即。

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例8.設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析:本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.

解:.

當(dāng)時(shí)   .

(i)當(dāng)時(shí),對(duì)所有,有.

即,此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)時(shí),對(duì),有,

即,此時(shí)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,又知函數(shù)在x=1處連續(xù),因此,

函數(shù)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增

(iii)當(dāng)時(shí),令,即.

解得.

因此,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間

內(nèi)也單調(diào)遞增.

令,解得.

因此,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

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 例9.已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。

 。1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo); (2)求直線與的夾角。

  分析:理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。

  解  (1)由方程組

      解得 A(-2,0),B(3,5)

 。2)由y′=2x,則,。設(shè)兩直線的夾角為θ,根據(jù)兩直線的夾角公式,

         所以

  說明:本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線,就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。

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例10.(2001年天津卷)設(shè),是上的偶函數(shù)。

(I)求的值;  (II)證明在上是增函數(shù)。

解:(I)依題意,對(duì)一切有,即,

∴對(duì)一切成立,

由此得到,,    又∵,∴。

(II)證明:由,得,

當(dāng)時(shí),有,此時(shí)!嘣谏鲜窃龊瘮(shù)。

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四、04年高考導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題型集錦

1.(全國卷10)函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)(   )

    A ()        B (π,2π)        C ()        D (2π,3π)

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2.(全國卷22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

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(i)求函數(shù)f(x)的最大值;(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

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3.(天津卷9)函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是

   (A)    (B)    (C)    (D)

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4.(天津卷20)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)在處取得極值。

(I)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值;

(II)過點(diǎn)作曲線的切線,求此切線方程。

(江蘇卷10)函數(shù)在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是  (   )

(A)1,-1        (B)1,-17       (C)3,-17       (D)9,-19

(浙江卷11)設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f '(x)的圖象

如右圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能的是

 

 

 

 

 

 

 

(A)               (B)               (C)                (D)

(浙江卷20)設(shè)曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t}處的切線lx軸、y軸圍成的三角形面積為S(t).
(1)求切線l的方程;(2)求S(t)的最大值。

 

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