試卷類型:A
2009年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)
數(shù) 學(xué)(理科)
2009.4
本試卷共4頁(yè),21小題, 滿分150分。 考試用時(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必用2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào),用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校,以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題(或題組號(hào))對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無效。
5.考生必須保持答題卡的整潔?荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。
參考公式:錐體的體積公式, 其中是錐體的底面積, 是錐體的高.
球的表面積公式,其中為球的半徑.
如果事件、互斥,那么.
如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是,那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為
A.0 B.
2.已知函數(shù) 則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A.1 B.
3.已知全集,集合≤,,則
A. B.
C. D.
4.命題“,”的否定是
A.,≥0 B.,
C.,≥0 D.,
5.已知點(diǎn),直線:,點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),若,則點(diǎn)的軌跡方程為
A. B. C. D.
6.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖像大致是
7.現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖1所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色,要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色,則不同的著色方法共有
A.24種 B.30種 C.36種 D.48種
8.設(shè)直線與球有且只有一個(gè)公共點(diǎn),從直線出發(fā)的兩個(gè)半平面、截球的兩個(gè)截面圓的半徑分別為和,二面角的平面角為,則球的表面積為
A. B. C. D.
(一)必做題(9~12題)
二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分.
9.在空間直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的是以為斜邊的等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)的值為 .
10.在某項(xiàng)才藝競(jìng)賽中,有9位評(píng)委,主辦單位規(guī)定計(jì)算參賽者比賽成績(jī)的規(guī)則如下:剔除評(píng)委中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,再計(jì)算其他7位評(píng)委的平均分作為此參賽者的比賽成績(jī).現(xiàn)有一位參賽者所獲9位評(píng)委一個(gè)最高分為86分、一個(gè)最低分為45分,若未剔除最高分與最低分時(shí)9位評(píng)委的平均分為76分,則這位參賽者的比賽成績(jī)?yōu)?u> 分.
12.在平面內(nèi)有≥條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),若這條直線把平面分成個(gè)平面區(qū)域,則的值是 ,的表達(dá)式是 .
(二)選做題(13~15題,考生只能從中選做兩題)
13.(幾何證明選講選做題)如圖3所示,在四邊形中,,
,則的值為 .
14.(不等式選講選做題) 函數(shù)的最小值為 .
15.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)直線被圓(為參數(shù))所截得的弦長(zhǎng)為 .
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
已知向量,,設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2) 已知銳角的三個(gè)內(nèi)角分別為,,,若,,求 的值.
17.(本小題滿分12分)
在長(zhǎng)方體中,,過、、三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后,得到如圖4所示的幾何體,且這個(gè)幾何體的體積為.
(1)求棱的長(zhǎng);
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使直線與垂直,
如果存在,求線段的長(zhǎng),如果不存在,請(qǐng)說明理由.
18.(本小題滿分14分)
已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,成等差數(shù)列,試判斷,,是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
19.(本小題滿分14分)
一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和個(gè)紅球(≥2且),每次從袋中摸出兩個(gè)球(每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中),若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng),否則為不中獎(jiǎng).
(1)試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率;
(2)若,求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率;
(3)記三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為,當(dāng)為何值時(shí),最大?
20.(本小題滿分14分)
已知函數(shù),,其中.
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若對(duì)任意的(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都有≥成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21.(本小題滿分14分)
已知雙曲線:的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為、,在雙曲線上有一點(diǎn),使,且的面積為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)、,在線段 上取異于、的點(diǎn),滿足.證明:點(diǎn)總在某定直線上.
2009年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(二)
說明:1.參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與參考答案不同,可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).
2.對(duì)解答題中的計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的得分,但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.
3.解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).
4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.
一、選擇題:本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共8小題,每小題5分,滿分40分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
C
B
A
D
D
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.其中13~15題是選做題,考生只能選做二題,三題全答的,只計(jì)算前二題得分.第12題第1個(gè)空3分,第2個(gè)空2分.
9.2 10.79 11.0 或 2 12.16,
13.1 14.3 15.6
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及運(yùn)算求解能力)
解:(1)
.
∵,
∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>.
(2)∵,,∴,.
∵都為銳角,∴,.
∴
.
∴的值為.
17.(本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
解:(1)設(shè),∵幾何體的體積為,
∴,
即,
即,解得.
∴的長(zhǎng)為4.
(2)在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直.
以下給出兩種證明方法:
方法1:過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),過點(diǎn)作
交于點(diǎn).
∵,,,
∴平面.
∵平面,∴.
∵,∴平面.
∵平面,∴.
在矩形中,∵∽,
∴,即,∴.
∵∽,∴,即,∴.
在中,∵,∴.
由余弦定理,得
.
∴在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直,且線段的長(zhǎng)為.
方法2:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,所在的直線為軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,由已知條件與(1)可知,,,,
假設(shè)在線段上存在點(diǎn)≤≤2,,0≤≤
由∽,得,
∴.
∴.
∴,.
∵,∴,
即,∴.
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為,在線段上.
∵,∴.
∴在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直,且線段的長(zhǎng)為.
18.(本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
解:設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,
若,,成等差數(shù)列,
則.
∴.
∵,,∴.
解得或.
當(dāng)時(shí),∵,,,
∴.
∴當(dāng)時(shí),,,不成等差數(shù)列.
當(dāng)時(shí),,,成等差數(shù)列.下面給出兩種證明方法.
證法1:∵
,
∴.
∴當(dāng)時(shí),,,成等差數(shù)列.
證法2:∵,
又
,
∴.
∴當(dāng)時(shí),,,成等差數(shù)列.
19.(本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
解:(1)∵一次摸球從個(gè)球中任選兩個(gè),有種選法,
任何一個(gè)球被選出都是等可能的,其中兩球顏色相同有種選法,
∴一次摸球中獎(jiǎng)的概率.
(2)若,則一次摸球中獎(jiǎng)的概率,
三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率是
.
(3)設(shè)一次摸球中獎(jiǎng)的概率為,則三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為,,
∵,
∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).
∴當(dāng)時(shí),取得最大值.
∵≥,
解得.
故當(dāng)時(shí),三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大.
20.(本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力)
(1)解法1:∵,其定義域?yàn)?sub>,
∴.
∵是函數(shù)的極值點(diǎn),∴,即.
∵,∴.
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí),是函數(shù)的極值點(diǎn),
∴.
解法2:∵,其定義域?yàn)?sub>,
∴.
令,即,整理,得.
∵,
∴的兩個(gè)實(shí)根(舍去),,
當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表:
―
0
+
極小值
依題意,,即,
∵,∴.
(2)解:對(duì)任意的都有≥成立等價(jià)于對(duì)任意的都有≥.
當(dāng)[1,]時(shí),
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