Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的OA、OC兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B（4，2），D、E分別為BC、OA的中點(diǎn)，邊AB、BC與雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于點(diǎn)F、G，點(diǎn)P在雙曲線上點(diǎn)F、G兩點(diǎn)之間，過點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)H，交直線CE于點(diǎn)I，連接DP、PA．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）請(qǐng)直接寫出直線CE的解析式；
（2）探索點(diǎn)P的位置時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P在與G重合或D、P、I共線時(shí)，PD=PI．進(jìn)而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn)P．PD=PI也成立．請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，AP+PI最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出C、E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CE的解析式即可；
（2）設(shè)P（m，n），根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上得出mn=2，用mn表示出PI，DH，PH的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出PD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）連接DA，根據(jù)AP+PI=AP+PD≥DA可知A、P、D共線時(shí)取等號(hào)，直線DA的方程為y=-x+4，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}mn=2\\ n=-m+4\end{array}\right.$求出m的值即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵矩形OABC的OA、OC兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B（4，2），E為OA的中點(diǎn)，
∴C（0，2），E（2，0），
∴設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ 2k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ k=-1\end{array}\right.$，
∴直線CE的解析式為y=-x+2；

（2）設(shè)P（m，n），
∵點(diǎn)P在雙曲線y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，
∴mn=2，PI=n-（-m+2）=m+n-2，DH²=（2-m）²，PH²=（2-n）²，
∴PD²=DH²+PH²=（m-2）²+（2-n）²=（m+n-2）²，即PD=m+n-2．
∴PD=PI；

（3）連接DA，
∵AP+PI=AP+PD≥DA，
∴A、P、D共線時(shí)取等號(hào)．
直線DA的方程為y=-x+4，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}mn=2\\ n=-m+4\end{array}\right.$，解得m=2+$\sqrt{2}$或m=2-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴當(dāng)m=2+$\sqrt{2}$時(shí)，AP+PI有最小值=AD=$\sqrt{{AB}^{2}+{BD}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、勾股定理等知識(shí)，難度適中．