Question

5．解方程x⁴-5x²+4=0，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：
設(shè)x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可變?yōu)閥²-5y+4=0  ①，
解得y₁=1，y₂=4．
當(dāng)y=1時(shí)，x²=1，∴x=±1；
當(dāng)y=4時(shí)，x²=4，∴x=±2；
∴原方程有四個(gè)根：x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2．
（1）在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
（2）解方程（x²+x）²-4（x²+x）-12=0．
（3）解方程   x²-3|x|=18．

Answer 1

分析 （1）本題主要是利用換元法降次來(lái)達(dá)到把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，來(lái)求解，然后再解這個(gè)一元二次方程．
（2）利用題中給出的方法先把x²+x當(dāng)成一個(gè)整體y來(lái)計(jì)算，求出y的值，再解一元二次方程．
（3）設(shè)|x|=y，原方程可化為y²-3y-18=0，求出y的值，再解絕對(duì)值方程．

解答 解：（1）在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用 換元法達(dá)到 降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
故答案是：換元  降次；

（2）設(shè)x²+x=y，原方程可化為y²-4y-12=0，
解得y₁=6，y₂=-2．
由x²+x=6，得x₁=-3，x₂=2．
由x²+x=-2，得方程x²+x+2=0，
b²-4ac=1-4×2=-7＜0，此時(shí)方程無(wú)解．
所以原方程的解為x₁=-3，x₂=2．

（3）原方程可化為|x|²-3|x|-18=0，
設(shè)|x|=y，原方程可化為y²-3y-18=0，
解得y₁=6，y₂=-3．
由|x|=6，得x₁=-6，x₂=6．
由|x|=-3，此時(shí)方程無(wú)解．
所以原方程的解為x₁=-6，x₂=6．

點(diǎn)評(píng) 本題應(yīng)用了換元法，把關(guān)于x的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的方程，這樣書寫簡(jiǎn)便且形象直觀，并且把方程化繁為簡(jiǎn)化難為易，解起來(lái)更方便．