Question

5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AD平分∠CAB交BC于點D，E為AD的中點，連接CE，將△ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△AE′C′，直線E′C′交AC于點F，交BC的延長線于點M，若AF=E′F，則CM=$\frac{96-10\sqrt{10}}{7}$．

Answer 1

分析 分一下幾步計算：（1）作輔助線構(gòu)建直角三角形；（2）證明△CAB≌△CAB′得CB′=CB，∠ABC═∠AB′C；
（3）利用兩角對應相等證明△CHB∽△CBA，得①式和②式；（4）利用兩角對應相等證明△HAB∽△B′E′M，得出③式；
（5）根據(jù)已知BC=3，AC=4和勾股定理求出AB=5及B′C=3，代入①②求出BH、CH、AH的長；
（6）證明Rt△ADK≌Rt△ADC得BK=1，證明Rt△KBD∽Rt△CBA得CD=$\frac{4}{3}$，利用勾股定理求AD的長，利用中點求出AE的長，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出AE′的長，得出B′E′的長；（7）代入③式求B′M的長，則CM=B′C+B′M．

解答 解：延長AE′交BM于B′，過B作BG⊥AB′，垂足為G，交AC于H，過D作DK⊥AB，垂足為K，
在Rt△ACD中，E是AD中點，則CE=$\frac{1}{2}AD$=AE=DE，
由旋轉(zhuǎn)得：C′E′=CE，AE′=AE，∠E′AC′=∠EAC，AC′=AC，
∴C′E′=CE′=AE′=AE，∠E′AC′=∠E′C′A=∠EAC，
∵∠AE′F=∠E′AC′+∠E′C′A=2∠EAC，
已知AF=E′F，所以△AFE′是等腰三角形，即∠FAE′=∠FE′A，
∴∠CAB′=2∠EAC，
已知AD平分∠CAB，
∴∠CAB=2∠DAC，
∴∠CAB′=2∠EAC=∠CAB，
∴△CAB≌△CAB′，
⇒CB′=CB，∠ABC═∠AB′C，
∵BG⊥AB′，
∴∠B′BG=∠B′AC=∠BAC⇒△CHB∽△CBA，
∴$\frac{BH}{AB}=\frac{BC}{AC}$⇒BH=AB•$\frac{BC}{AC}①$，
$\frac{CH}{BC}=\frac{BC}{AC}$⇒CH=BC•$\frac{BC}{AC}②$，
∵∠ABH=∠ABC-∠BAC，
又∵∠AB′B=′B′E′M+∠M⇒∠M=∠ABC-∠CAB′=∠ABC-∠BAC，
∴∠M=∠ABH，
又∠B′E′M=′FE′A=∠FAE′=∠B′AC=∠BAC，
∴△HAB∽△B′E′M⇒$\frac{B′M}{B′E′}=\frac{BH}{AH}$，
⇒B′M=B′E′•$\frac{BH}{AH}③$，
已知BC=3，AC=4，所以AB=5，
∴B′C=BC=3，
代入①式得：BH=5×$\frac{3}{4}$=$\frac{15}{4}$，
代入②式得；CH=3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$⇒AH=AC-CH=$\frac{7}{4}$，
∵DK⊥AB，又AD平分∠CAB，
得Rt△ADK≌Rt△ADC，
∴AK=AC=4，DC=DK⇒BK=AB-AK=5-4=1，
則Rt△KBD∽Rt△CBA，
∴$\frac{DK}{AC}=\frac{BK}{BC}$⇒CD=DK=AC•$\frac{BK}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
⇒AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{10}$，
∵E是AD的中點，
∴EA=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{2}{3}\sqrt{10}$，
∴E′A=EA=$\frac{2}{3}\sqrt{10}$⇒B′E′=AB′-E′A=AB-EA=5-$\frac{2}{3}\sqrt{10}$，
根據(jù)③式得：B′M=B′E′•$\frac{BH}{AH}$=（5-$\frac{2}{3}\sqrt{10}$）•$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{7}{4}}$=$\frac{5}{7}（15-2\sqrt{10}）$，
∴CM=B′C+B′M=3+$\frac{5}{7}（15-2\sqrt{10}）$=$\frac{96-10\sqrt{10}}{7}$；
故答案為：$\frac{96-10\sqrt{10}}{7}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強；運用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的對應邊和對應角相等，等腰三角形中等邊對等角，同時綜合運用了全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定來求邊的長，作輔助線把所求的邊分成兩部分求，利用等量代換求出所得結(jié)論．