【題目】如圖,已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣b(a>0)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(﹣1,0),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.
(1)直接寫出拋物線的對(duì)稱軸,及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C.
①求拋物線的解析式;
②點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上,點(diǎn)F在拋物線上,且以B,A,F(xiàn),E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:對(duì)稱軸是直線:x=1,
點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0)
(2)
解:①如圖,連接AC、AD,過D作DM⊥y軸于點(diǎn)M,
解法一:利用△AOC∽△CMD,
在y=ax2﹣2ax﹣b(a>0)中,當(dāng)x=1時(shí),y=﹣a﹣b,則D的坐標(biāo)是(1,﹣a﹣b).
∵點(diǎn)A、D、C的坐標(biāo)分別是A(3,0),D(1,﹣a﹣b)、
C(0,﹣b),
∴AO=3,MD=1.
由 ,
得 ,
∴3﹣ab=0.
又∵0=a(﹣1)2﹣2a(﹣1)﹣b,
∴由 ,
得 ,
∴函數(shù)解析式為:y=x2﹣2x﹣3.
解法二:利用以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,
∵點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別是A(3,0)、D(1,﹣a﹣b)、C(0,﹣b),
∴AC= ,CD= ,AD=
∵AC2+CD2=AD2
∴3﹣ab=0①
又∵0=a(﹣1)2﹣2a(﹣1)﹣b②
由①、②得a=1,b=3
∴函數(shù)解析式為:y=x2﹣2x﹣3.
②F點(diǎn)存在.
如圖所示,當(dāng)四邊形BAFE為平行四邊形時(shí)
則BA∥EF,并且BA=EF.
∵BA=4,
∴EF=4
由于對(duì)稱軸為x=1,
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5.
將x=5代入y=x2﹣2x﹣3得y=12,∴F(5,12).
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上也存在點(diǎn)F,
使得四邊形BAEF是平行四邊形,此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為(﹣3,12).
當(dāng)四邊形BEAF是平行四邊形時(shí),點(diǎn)F即為點(diǎn)D,
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,﹣4).
綜上所述,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5,12),(﹣3,12)或(1,﹣4).
【解析】(1)已知拋物線解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)求出a值,利用對(duì)稱軸x=﹣ 求出對(duì)稱軸以及點(diǎn)A的坐標(biāo).(2)①本題要靠輔助線的幫助.連接AC,AD,過DM⊥y軸于點(diǎn)M.證明△AOC∽△CMD后可推出a,b的值.②證明四邊形BAFE為平行四邊形,求出BA,EF得出點(diǎn)F的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)示數(shù)b,C點(diǎn)表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù),且a,b滿足 +(c-7)2=0.
(1) a= ,b= ,c= .
(2) 若將數(shù)軸折疊,使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與數(shù) 表示的點(diǎn)重合.
(3) 點(diǎn)A,B,C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)t秒鐘過后,若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB,點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC.則AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代數(shù)式表示)
(4) 請(qǐng)問:3BC-2AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變? 若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=4,BD=3,求△ADE的周長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】郵遞員騎摩托車從郵局出發(fā),先向南騎行2km到達(dá)A村,繼續(xù)向南騎行3km到達(dá)B 村,然后向北騎行9km到C村,最后回到郵局.
(1)以郵局為原點(diǎn),以向北方向?yàn)檎较,?/span>1個(gè)單位長(zhǎng)度表示1km,請(qǐng)你在數(shù)軸上表示出A、B、C三個(gè)村莊的位置;
(2)C村離A村有多遠(yuǎn)?
(3)若摩托車每100km耗油3升,這趟路共耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1是某班學(xué)生上學(xué)的三種方式(乘車、步行、騎車)的人數(shù)分布直方圖和扇形圖2.
(1)該班有多少名學(xué)生;
(2)補(bǔ)上人數(shù)分布直方圖的空缺部分;
(3)若全年級(jí)有800人,估計(jì)該年級(jí)步行有名學(xué)生.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,斜邊AB的垂直平分線與∠CAB的平分線都交BC于D點(diǎn),則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)A、C同時(shí)沿正方形的邊開始移動(dòng),甲點(diǎn)依順時(shí)針方向環(huán)行,乙點(diǎn)依逆時(shí)針方向環(huán)行.若甲的速度是乙的速度的3倍,則它們第2015次相遇在哪條邊上( )
A. AB B. BC C. CD D. DA
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AB⊥AC,以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)如果BE=4,CE=2,求DE的值.
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