Question

4．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B（$2\sqrt{3}$，2），△AOB為等邊三角形，P是x軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊△APQ．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，總有△AOP≌△ABQ．請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論．
（3）如圖2，連接OQ，當(dāng)OQ∥AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過B作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，在Rt△OBD中，利用勾股定理可求得OB的長，從而可得到OA的長，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得到AO=AB，AP=AQ，且可得到∠PAO=∠QAB，可證得結(jié)論；
（3）利用（2）的結(jié)論結(jié)合平行可得∠BQO=90°，在Rt△ABQ中可求得BQ，又OP=BQ，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）如圖1，過B作BD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，2），
∴OD=2$\sqrt{3}$，BD=2，
在Rt△OBD中，由勾股定理可得OB=4，
∵△AOB為等邊三角形，
∴OA=OB=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）；
（2）證明：
∵△AOB和△APQ都是等邊三角形，
∴AP=AQ，AO=AB，∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO+∠OAQ=∠QAB+∠OAQ，
∴∠PAO=∠QAB，
在△AOP和△ABQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$
∴△AOP≌△ABQ（SAS）；
（3）連接BQ，如圖2，

由（2）可知△AOP≌△ABQ，
∴∠ABQ=∠AOP=90°，BQ=OP，
∵AB∥OQ，
∴∠BOQ=∠ABO=60°，∠BQO=90°，
∵OB=4，
∴在Rt△BQO中，OQ=2，
∴BQ=2$\sqrt{3}$，
∴OP=2$\sqrt{3}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理等．在（1）、（3）中求得線段的長度是求點(diǎn)的坐標(biāo)的一般思路，在（2）中注意等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用．本題考查知識(shí)點(diǎn)都屬于基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大．