Question

16．二次函數(shù)y=x²+bx+c（b＞0）的圖象C與x軸有且僅有一個公共點M，C與y軸相交于點N，過點N的直線l：y=-x+m與C交與另一點A，l與x軸交于點B，若9S_△AMN=7S_△BMN，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)解析式求得點N坐標（0，c），代入直線l的解析式可得y=-x+c，聯(lián)立直線和拋物線解析式求得交點A的坐標（-b-1，b+1+c），利用勾股定理得到AN=$\sqrt{2}$（b+1）、BN=$\sqrt{2}$c，由9S_△AMN=7S_△BMN得9AN=7BN即9×$\sqrt{2}$（b+1）=7×$\sqrt{2}$c ①，結合b²-4c=0 ②，聯(lián)立①②可得b、c的值可得答案．

解答 解：如圖，

當x=0時，y=c，即點N（0，c），
將點N（0，c）代入y=-x+m，得：m=c，
∴直線l：y=-x+c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+bx+c}\\{y=-x+c}\end{array}\right.$得：x₁=0，x₂=-b-1，
∴當x=-b-1時，y=-x+c=b+1+c，
∴點A（-b-1，b+1+c），
過點A作AP⊥y軸于點Q，則PN=OP-ON=b+1，
∴AN=$\sqrt{A{P}^{2}+P{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$（b+1），BN=$\sqrt{O{B}^{2}+O{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
過點M作MQ⊥AB于點Q，
∵9S_△AMN=7S_△BMN，
∴9×$\frac{1}{2}$AN×MQ=7×$\frac{1}{2}$×BN×MQ，即9AN=7BN，
∴9×$\sqrt{2}$（b+1）=7×$\sqrt{2}$c，即9（b+1）=7c ①，
∵拋物線C與x軸有且僅有一個公共點M，
∴△=b²-4c=0 ②，
聯(lián)立①②得：b²-4×$\frac{9（b+1）}{7}$=0，整理得7b²-36b-36=0，
解得：b₁=6，b₂=-$\frac{6}{7}$，
∵b＞0，
∴b=6，
∴c=9，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²+6x+9．

點評 本題主要考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式，熟練掌握直線與拋物線的交點問題、勾股定理及共高的兩三角形的面積問題是解題的關鍵．