Question

1．若x₁、x₂是關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x₁、x₂和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，我們把它們稱為根與系數(shù)的關(guān)系定理，請你參考上述定理，解答下列問題：
設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0）．拋物線的頂點為C，且△ABC為等腰三角形．
（1）求A、B兩點之間的距離（用字母a、b、c表示）
（2）當△ABC為等腰直角三角形時，求b²-4ac的值；
（3）設(shè)拋物線y=x²+kx+1與x軸的兩個交點為A、B，頂點為C，且∠ACB=90°，試問如何平移此拋物線，才能使∠ACB=60°？

Answer 1

分析 （1）令二次函數(shù)解析式中y=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出“x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$”，利用配方法即可求出|x₂-x₁|的值，由此即可得出結(jié)論；
（2）利用配方法將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，由此即可求出點C的坐標，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出2×|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$，利用換元解方程即可求出b²-4ac的值；
（3）由（2）的結(jié)論即可得出關(guān)于k的方程，解方程即可得出拋物線的解析式，畫出函數(shù)圖象，由此可得出若要使∠ACB=60°，則需把拋物線往下平移，設(shè)平移的距離為n（n＞0），則平移后的拋物線的解析式為y=x²-2$\sqrt{2}$x+1-n，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令y=ax²+bx+c（a≠0）中y=0，則有ax²+bx+c=0，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴|x₂-x₁|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$．
（2）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c=a$（x+\frac{2a}）^{2}$+$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，
∴點C的坐標為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴2×|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$，
令$\sqrt{^{2}-4ac}$=m，則有m²-2m=0，
解得：m=2，或m=0，
∵二次函數(shù)與x軸有兩個不相同的交點，
∴m=$\sqrt{^{2}-4ac}$=2，
∴b²-4ac=4．
（3）∵∠ACB=90°，
∴b²-4ac=k²-4=4，
解得：k=±2$\sqrt{2}$．
選k=-2$\sqrt{2}$，畫出圖形，如圖所示．

若要使∠ACB=60°，則需把拋物線往下平移，設(shè)平移的距離為n（n＞0），則平移后的拋物線的解析式為y=x²-2$\sqrt{2}$x+1-n，
由（1）可知AB=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{|a|}$=2$\sqrt{1+n}$，
由（2）可知點C（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），即（$\sqrt{2}$，-1-n），
∵△ABC為等腰三角形，且∠ACB=60°，
∴-y_C=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，即1+n=$\sqrt{3}$$\sqrt{1+n}$，
解得：n=-1（舍去），或n=2．
故將拋物線往下平移2個單位長度，能使∠ACB=60°．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用配方法求出|x₂-x₁|的值；（2）利用換元法解方程；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出關(guān)于n的方程．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時，利用等腰直角（等邊）三角形的性質(zhì)得出邊與邊的關(guān)系是關(guān)鍵．