Question

2．在平面直角坐標系xOy中，過原點O及點A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設(shè)移動時間為t秒．
（1）當點P移動到點D時，t=2秒；  
（2）連接點A，C，求直線AC的解析式；
（3）若點M是直線AC上第一象限內(nèi)一點，是否存在某一時刻，使得四邊形OPMQ為平行四邊形？若存在，請直接寫出t的值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形以及角平分線的性質(zhì)可得出△OAD為等腰直角三角形，再根據(jù)點A的坐標結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出OD的長度，從而可得出t值；
（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，根據(jù)點A、C的坐標利于待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（3）假設(shè)存在，找出點P、O、Q三點的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)--對角線互相平分，分別以O(shè)P、OQ、PQ為對角線求出點M的坐標，再根據(jù)點M是直線AC上第一象限內(nèi)一點，即可求出t值以及點M的坐標．

解答 解：（1）∵四邊形OABC為矩形，且∠AOC的平分線交AB于點D，
∴△OAD為等腰直角三角形，
∵點A（0，2），
∴OA=2，OD=2$\sqrt{2}$，
點P移動到點D時，t=2$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=2（秒）．
故答案為：2．
（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
將點A（0，2）、C（6，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2．
（3）假設(shè)存在，過點P作PE⊥x軸于點E，如圖所示．
由（1）可知△POE為等腰直角三角形，
∴點P（t，t）．
O（0，0），Q（2t，0）．
四邊形OPMQ為平行四邊形分三種情況：
①以O(shè)P為對角線時，點M（0+t-2t，0+t-0），即（-t，t），
∵點M在第一象限，
∴此情況不符合要求；
②以O(shè)Q為對角線時，點M（0+2t-t，0+0-t），即（t，-t），
∵點M在第一象限，
∴此情況不符合要求；
③以PQ為對角線時，點M（t+2t-0，t+0-0），即（3t，t），
∵點M在第一象限內(nèi)，且點M在直線AC上，
∴t=-$\frac{1}{3}$×3t+2，解得：t=1，
此時點M的坐標為（3，1）．
綜上可知：若點M是直線AC上第一象限內(nèi)一點，存在某一時刻，使得四邊形OPMQ為平行四邊形，此時t=1，點M的坐標為（3，1）．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出線段OD的長；（2）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（3）分三種情況討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)--對角線互相平分，由平行四邊形的三個頂點坐標求出第四個頂點的坐標是關(guān)鍵．