Question

20．如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．
（1）當(dāng)AC，CD，DB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB，說(shuō)明你的理由．
（2）當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠ACP=∠PDB=120°，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠APC=∠PBD，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠DPB+∠DBP=60°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)CD²=AC•DB時(shí)，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵CD²=AC•DB，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{PC}{BD}$=$\frac{AC}{PD}$，
∴△ACP∽△PDB；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠PBD，
∵∠PDB=120°，
∴∠DPB+∠DBP=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．