14.一青蛙從點(diǎn)A0(x0,y0)開始依次水平向右和豎直向上跳動,其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是Ai(xi,yi)(i∈N*),(如圖,A0(x0,y0)的坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn)),Sn表示青蛙從點(diǎn)A0到點(diǎn)An所經(jīng)過的路程.
(1)點(diǎn)A0(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)準(zhǔn)線上一點(diǎn),點(diǎn)A1,A2均在該拋物線上,并且直線A1A2經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn),證明S2=3p;
(2)若點(diǎn)An(xn,yn)(n∈N*)要么落在y=x所表示的曲線上,要么落在y=x2所表示的曲線上,并且A0($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),試寫出$\lim_{n→+∞}$Sn(不需證明);
(3)若點(diǎn)An(xn,yn)要么落在y=${2^{\sqrt{1+8x}-1}}$所表示的曲線上,要么落在y=${2^{\sqrt{1+8x}+1}}$所表示的曲線上,并且A0(0,4),求S2011的值.

分析 (1)由題意可設(shè)${A_0}(-\frac{p}{2},{y_0})$,由于青蛙依次向右向上跳動,所以${A_1}(\frac{p}{2},{y_0})$,${A_2}(\frac{p}{2},-{y_0})$,由拋物線定義求得S2的值.
(2)(2)依題意,${x_{2n+1}}=\sqrt{{x_{2n-1}}},{x_{2n}}={x_{2n-1}},{y_{2n}}={y_{2n+1}}={x_{2n-1}}(n∈{N^*})$,再結(jié)合隨著n的增大,點(diǎn)An無限接近點(diǎn)(1,1),求得Sn的極限.
(3)觀察An發(fā)現(xiàn)下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是首項(xiàng)為22,公比為4的等比數(shù)列.相鄰橫坐標(biāo)之差是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,再利用求和公式求得S2011的值.

解答 解:(1)由于點(diǎn)A0(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)準(zhǔn)線上一點(diǎn),可設(shè)${A_0}(-\frac{p}{2},{y_0})$,由于青蛙依次向右向上跳動,
所以${A_1}(\frac{p}{2},{y_0})$,${A_2}(\frac{p}{2},-{y_0})$,由拋物線定義知:S2=3p.
(2)依題意,${x_{2n+1}}=\sqrt{{x_{2n-1}}},{x_{2n}}={x_{2n-1}},{y_{2n}}={y_{2n+1}}={x_{2n-1}}(n∈{N^*})$,
$\lim_{n→∞}{S_n}=|{A_0}{A_1}|+|{A_1}{A_2}|+|{A_2}{A_3}|+|{A_3}{A_4}|+…+|{A_{2n-2}}{A_{2n-1}}|+|{A_{2n-1}}{A_{2n}}|+…$
=(x1-x0)+(y2-y1)+(x3-x2)+(y4-y3)+(x5-x4)+…+(x2n-1-x2n)+(y2n-y2n-1)+…
=2(x1-x0)+2(x3-x2)+2(x5-x4)+…+2(x2n-1-x2n)+…
隨著n的增大,點(diǎn)An無限接近點(diǎn)(1,1).
橫向路程之和無限接近$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,縱向路程之和無限接近$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,
∴$\lim_{n→+∞}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
(3)由題意知${A_1}(1,{2^2}),{A_2}(1,{2^4}),{A_3}(3,{2^4}),{A_4}(3,{2^6}),{A_5}(6,{2^6}),{A_6}(6,{2^8}),…$
其中${A_1}(1,{2^2}),{A_3}(3,{2^4}),{A_5}(6,{2^6}),{A_7}(10,{2^8}),…$${A_2}(1,{2^4}),{A_4}(3,{2^6}),{A_6}(6,{2^8}),{A_8}(10,{2^{10}}),…$.
觀察規(guī)律可知:下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是首項(xiàng)為22,公比為4的等比數(shù)列.相鄰橫坐標(biāo)之差是首項(xiàng)為2,
公差為1的等差數(shù)列,并可用數(shù)學(xué)歸納法證明.
所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,${x_n}=\frac{{{n^2}+4n+3}}{8},{y_n}={2^{n+1}}$S2011=|A0A1|+|A1A2|+|A2A3|+|A3A4|+…+|A2010A2009|+|A2010A2011|
=(x1-x0)+(y2-y1)+(x3-x2)+(y4-y3)+(x5-x4)+…+(y2010-y2009)+(x2011-x2010
=(x1-x0)+(y2-y0)+(x3-x1)+(y4-y2)+(x5-x3)+…+(y2011-y2010)+(x2011-x2010
=$({x_{2011}}+{y_{2011}})-({x_0}+{y_0})=(\frac{{{{2011}^2}+4×2011+3}}{8}+{2^{2011+1}})-(0+4)=506517+{2^{2012}}$,
所以,${S_{2011}}=506517+{2^{2012}}$.

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的極限的定義和求法,數(shù)列求和,屬于難題.

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