12.已知f(x)=sinx-cosx+1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)求f(x)的遞增區(qū)間.

分析 (1)將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得最大值,
(2)將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

解答 解:(1)f(x)=sinx-cosx+1,x∈R.
化簡得:f(x)=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+1 
函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$.
∵sin(x-$\frac{π}{4}$)的最大值為1,
∴f(x)=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$)+1的最大值為$\sqrt{2}+1$,
即ymax=$\sqrt{2}+1$.
   (2)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得:(x$-\frac{π}{4}$)∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ,$\frac{π}{2}$+2kπ]是單調(diào)遞增區(qū)間,即-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x$-\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,
解得:-$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ,
故得x∈[-$\frac{π}{4}$+2kπ,$\frac{3π}{4}$+2kπ],k∈Z,是函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間,

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.

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