分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定m的范圍即可;
(Ⅱ)代入m的值,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合a,b的范圍證明即可.
解答 解:(I)f(x)=$\frac{1}{2}$ln(1+2x)+mx(x>-$\frac{1}{2}$),
∴f′(x)=$\frac{1}{1+2x}$+m(2分),
對x>-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{1+2x}$>0,
故不存在實(shí)數(shù)m,使f′(x)=$\frac{1}{1+2x}$+m<0對x>-$\frac{1}{2}$恒成立,(4分)
由f′(x)≥0對x>-$\frac{1}{2}$恒成立得,m≥-$\frac{1}{1+2x}$對x>-$\frac{1}{2}$恒成立,
而-$\frac{1}{1+2x}$<0,故m≥0;經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m≥0時(shí),f′(x)>0對x>-$\frac{1}{2}$恒成立
∴當(dāng)m≥0時(shí),f(x)為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù).----------(6分)
(II)當(dāng)m=1時(shí),令g(x)=f(x)-$\frac{4}{3}$x=$\frac{1}{2}$ln(1+2x)-$\frac{1}{3}$x,
g′(x)=$\frac{2(1-x)}{3(1+2x)}$,
在[0,1]上總有g(shù)′(x)≥0,即g(x)在[0,1]上遞增;
∴當(dāng)0≤b<a≤1時(shí),g(a)>g(b),
即$f(a)-\frac{4}{3}a>f(b)-\frac{4}{3}b⇒\frac{f(a)-f(b)}{a-b}>\frac{4}{3}$=1 ①------------------(9分)
令$h(x)=f(x)-2x=\frac{1}{2}ln(1+2x)-x$,${h^'}(x)=\frac{1}{1+2x}-1=\frac{-2x}{1+2x}<0$,
知h(x)在[0,1]上遞減,∴h(a)<h(b)
即$f(a)-2a<f(b)-2b⇒\frac{f(a)-f(b)}{a-b}<2$②-----------------------------(11分)
由 ①②知,當(dāng)0≤b<a≤1時(shí),$\frac{4}{3}$<$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$<2.---------------(12分)
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | -2 | D. | -1 |
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A. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | -1 | D. | 1 |
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A. | ξ=4 | B. | ξ=5 | C. | ξ=6 | D. | ξ≤5 |
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A. | x0<a | B. | x0>b | C. | x0<c | D. | x0>c |
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A. | 1007 | B. | 1008 | C. | 2015 | D. | 2016 |
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