Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB=90°，PA=AB=BC=3，AD=1．
（ I）設(shè)點(diǎn)E在線段PC上，若$\frac{PE}{EC}=\frac{1}{2}$，求證：DE∥平面PAB；
（ II）求證：平面PBC⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在PB上取一點(diǎn)F，滿足$\frac{PF}{FB}=\frac{1}{2}$，連接EF，AF，可得EF∥BC，且$EF=\frac{1}{3}BC$，又AD∥BC，BC=3，AD=1，可得四邊形ADEF為平行四邊形，得DE∥AF，由線面平行的判定可得DE∥平面PAB；
（Ⅱ）由AD∥BC，∠DAB=90°，可得BC⊥AB，再由PA⊥底面ABCD，得BC⊥PA，由線面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，進(jìn)一步可得平面PBC⊥平面PAB．

解答 證明：（Ⅰ）∵$\frac{PE}{EC}=\frac{1}{2}$，∴在PB上取一點(diǎn)F，滿足$\frac{PF}{FB}=\frac{1}{2}$，并連接EF，AF，
∵$\frac{PE}{EC}=\frac{PF}{FB}=\frac{1}{2}$，∴EF∥BC，且$EF=\frac{1}{3}BC$，
又AD∥BC，BC=3，AD=1，
∴EF∥AD，且EF=AD=1，
∴四邊形ADEF為平行四邊形，得DE∥AF，
又DE?面PAB，AF?面PAB，
∴DE∥平面PAB；
（Ⅱ）∵AD∥BC，∠DAB=90°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，
又PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴BC⊥PA，
又AB，PA是平面PAB上兩相交直線，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．