Question

9．求函數f（x）=sin²x-2acosx-1的最大值g（a）

Answer 1

分析 利用sin²x+cos²x=1，轉化為二次函數求最大值問題．

解答 解：函數f（x）=sin²x-2acosx-1，
可得：函數f（x）=1-coa²x-2acosx-1=-coa²x-2acosx
令cosx=t，（-1≤t≤1）
則函數f（x）=sin²x-2acosx-1轉化為h（t）=-t²-2at，
對稱軸t=-a，
當-a≤-1時，函數h（t）的最大值為h（-1）=2a-1，即g（a）=2a-1，（a≥1），
當-1＜-a＜1時，函數h（t）的最大值為h（-a）=a²，即g（a）=a²，（1＞a＞-1），
當-a≥1時，函數h（t）的最大值為h（1）=-2a-1，即g（a）=-2a-1，（a≤-1），
∴最大值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-1，（a≥1）}\\{{a}^{2}，（-1＜a＜1）}\\{-2a-1，（a≤-1）}\end{array}\right.$

點評 本題考察了三角函數的有界性和二次函數求最大值的討論問題．屬于中檔題．