Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過右焦點F且斜率為k（k＞0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，則k=1．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，y₁=-3y₂，e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設a=2t，c=$\sqrt{2}$t，b=$\sqrt{2}$t，（t＞0），則直線方程為：x=$\frac{1}{k}$y+$\sqrt{2}$t，代入橢圓方程，由韋達定理可知y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}kt}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂═-$\frac{2{k}^{2}{t}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，代入，即可求得k的值．

解答 解：右焦點F且斜率為k（k＞0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，
∴y₁=-3y₂，
∵e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設a=2t，c=$\sqrt{2}$t，b=$\sqrt{2}$t，（t＞0），
∴$\frac{{x}^{2}}{4{t}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{t}^{2}}=1$①，
設直線AB方程為x=$\frac{1}{k}$y+$\sqrt{2}$t，
代入①中消去x，可得（$\frac{1}{{k}^{2}}$+2）y²+$\frac{2\sqrt{2}ty}{k}$-2t²=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{\frac{2\sqrt{2}t}{k}}{\frac{1}{{k}^{2}}+2}$=$\frac{2\sqrt{2}kt}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2{t}^{2}}{\frac{1}{{k}^{2}}+2}$=-$\frac{2{k}^{2}{t}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
-2y₂=-$\frac{2\sqrt{2}kt}{1+2{k}^{2}}$，-3y₂²=-$\frac{2{k}^{2}{t}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
解得：k=1．
故答案：1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理及向量的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．