分析 (I)求解f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1,分類討論求解不等式,利用導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系,得出單調(diào)區(qū)間.
(II)利用極值的求解得出f(x)的極小值是x=-a-1,從而g(x)的極小值點也是x=-a-1,根據(jù)函數(shù)關(guān)系得出-$\frac{b+2}{2}$=-a-1,即b=2a,
a≤-1,故g(x)的極小值g(-a-1)=-(1+a)2(4-2a)≤0,
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1
f′(x)=ex(x+1)(x+a+1)
由f′(x)=0,得x=-1,或x=-a-1
(1)當a=0時,f′(x)=ex(x+1)2≥0,f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),
(2)當a>0時,f(x)在(-a-1,-1)上為減函數(shù);f(x)在(-∞,-a-1)、(-1,+∞)上為增
函數(shù),
(3)當a<0時,f(x)在(-1,-a-1)上為減函數(shù);f(x)在(-∞,-1)、(-a-1,+∞)上為增
函數(shù),
(Ⅱ)∵a≤-1,∴-a-1>-1,
又f′(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1]=ex(x+a+1)(x+1),
∴f(x)的極小值是x=-a-1,從而g(x)的極小值點也是x=-a-1
又g′(x)=12(x+1)(x+$\frac{b+2}{2}$)
∴-$\frac{b+2}{2}$=-a-1,即b=2a
因為a≤-1,
故g(x)的極小值g(-a-1)=-(1+a)2(4-2a)≤0,
即g(x)的極小值小于等于0.
點評 本題綜合考察了導(dǎo)數(shù)的運用解決單調(diào)性,極值等問題,分類討論等思想的運用,屬于難度較大的題目.
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P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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A. | f(-1)+f(-2)<2f(-$\frac{3}{2}$) | B. | f(-1)+f(-2)>2f(-$\frac{3}{2}$) | C. | f(-1)+f(-2)≤2f(-$\frac{3}{2}$) | D. | f(-1)+f(-2)≥2f(-$\frac{3}{2}$) |
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A. | 0 | B. | 1 | ||
C. | 2 | D. | 與實數(shù)a的取值有關(guān) |
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A. | 0 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | 3 |
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