Question

1．（理科）已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，A是E的右頂點，B₁、B₂是E的短軸兩頂點，且直線B₁A的斜率與直線B₂A的斜率之積為-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過E的右焦點F₂作直線與E交于M、N兩點，直線MA、NA與直線X=3分別交于C、D兩點，設△ACD與△AMN的面積分別記為S₁、S₂，求2S₁-S₂的最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意，設P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），由P在橢圓上，則${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（a²-${x}_{0}^{2}$），k_PA•k_QA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，c=1，即可求得橢圓的標準方程；
（II）設直線MN的方程為x=my+1，代入橢圓方程，又直線MA的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），將x=3代入，y_C=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$，同理y_D=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$，S₁=$\frac{1}{2}$丨CD丨=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+1}$，S₂=$\frac{1}{2}$•丨AF丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，2S₁-S₂=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$-$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t（t≥1），則m²=t²-1，2S₁-S₂=3t-$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$，由函數(shù)單調遞增，當t=1時，取最小值，即可求得2S₁-S₂的最小值為$\frac{3}{2}$．

解答 解：（I）橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，橢圓的焦點在x軸上，2c=2，c=1，
根據(jù)題意，設P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），
由P在橢圓上，則${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（a²-${x}_{0}^{2}$），
直線B₁A的斜率與直線B₂A的斜率之積：k_PA•k_QA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
依題意有$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
又c=1，
∴a²=4，b²=3，
故橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）設直線MN的方程為x=my+1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
由韋達定理知：y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
又直線MA的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），將x=3代入，
得y_C=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$，同理y_D=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$，
∴丨CD丨=丨y_C-y_D丨=$\frac{丨{y}_{1}-{y}_{2}丨}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$丨CD丨=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+1}$，S₂=$\frac{1}{2}$•丨AF丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
則2S₁-S₂=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$-$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t（t≥1），則m²=t²-1，
2S₁-S₂=3t-$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$，
記f（t）=3t-$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$，則f′（t）=3+$\frac{6（3{t}^{2}-1）}{（3{t}^{2}+1）^{2}}$＞0，
∴f（t）在[1，+∞）單調遞增，從而f（t）的最小值為f（1）=$\frac{3}{2}$，
故2S₁-S₂的最小值為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及三角形的面積公式的應用，考查圓錐曲線與導數(shù)的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．