Question

3．設數列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（n≥2），且a₁+4是a₂，a₃的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的前n項和T_n，求證：$\frac{1}{2}≤{T_n}$＜2．

Answer 1

分析 （1）數列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（n≥2），可得數列{a_n}是公比為2的等比數列，又a₁+4是a₂，a₃的等差中項，可得2（a₁+4）=a₂+a₃，代入解得a₁即可得出．
（2）$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：∵數列{a_n}滿足$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（n≥2），∴數列{a_n}是公比為2的等比數列，
∵a₁+4是a₂，a₃的等差中項，∴2（a₁+4）=a₂+a₃，∴2（a₁+4）=a₁（2+4），∴a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）證明：$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴數列$\left\{{\frac{n}{a_n}}\right\}$的前n項和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
數列$\{\frac{2+n}{{2}^{n}}\}$單調遞減，
∴$\frac{1}{2}$=T₁≤T_n＜2，

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列與等差數列的通項公式與求和公式、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．