14.在平行四邊形ABCD中,$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0,$2{\overrightarrow{BC}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}$-4=0,若將其沿AC折成直二面角D-AC-B,則三棱錐D-AC-B的外接球的表面積為4π.

分析 由已知中$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0,可得AC⊥CB,沿AC折成直二面角D-AC-B,平面DAC⊥平面ACB,可得三棱錐A-BCD的外接球的直徑為BD,進(jìn)而根據(jù)$2{\overrightarrow{BC}^2}+{\overrightarrow{AC}^2}$-4=0,求出三棱錐D-ACB的外接球的半徑,可得三棱錐D-ACB的外接球的表面積.

解答 解:平行四邊形ABCD中,
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0,
∴AC⊥CB,
沿AC折成直二面角D-AC-B,∴平面DAC⊥平面ACB,
三棱錐D-ACB的外接球的直徑為DB,
∴BD2=AD2+AC2+BC2=2BC2+AC2=4
∴外接球的半徑為1,
故表面積是4π.
故答案為4π.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,其中根據(jù)已知求出三棱錐D-ACB的外接球的半徑是解答的關(guān)鍵.

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