Question

16．若曲線y=a^x與y=log_ax（a＞1）有一個公共點A，且這兩條曲線在點A處的切線的斜率都是1，則a的值為${e}^{\frac{1}{e}}$．

Answer 1

分析 y=a^x與y=log_ax兩個函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關于y=x對稱，要使兩個函數(shù)圖象只有一個公共點，則y=x是兩個函數(shù)的共同的切線．設兩個函數(shù)相切時的切點坐標為M（x₀，x₀），由于曲線y=a^x在M處的切線斜率為1，可得${a}^{{x}_{0}}$=x₀，${a}^{{x}_{0}}$•lna=1，聯(lián)立求解得答案．

解答 解：∵y=a^x與y=log_ax兩個函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關于y=x對稱，
∴兩個函數(shù)圖象只有一個公共點時，直線y=x是兩個函數(shù)的共同的切線．
設兩個函數(shù)相切時的切點坐標為M（x₀，x₀），
∴${a}^{{x}_{0}}$=x₀，${a}^{{x}_{0}}$•lna=1，
聯(lián)立可得${x}_{0}=\frac{1}{lna}$，
∴${a}^{\frac{1}{lna}}=\frac{1}{lna}$，兩邊取自然對數(shù)，得ln（$\frac{1}{lna}$）=1，
即e=$\frac{1}{lna}$，則lna=$\frac{1}{e}$，
∴a=${e}^{\frac{1}{e}}$，
故答案為：${e}^{\frac{1}{e}}$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，注意y=a^x與y=log_ax兩個函數(shù)互為反函數(shù)是關鍵，考查計算能力，是中檔題．