Question

14．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，E、F、G分別是BC、CC₁、BB₁的中點．
（1）若BC=BB₁，求證：BC₁⊥平面AEG；
（2）若D為AB中點，∠CA₁D=45°，四棱錐C-A₁B₁BD的體積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求三棱錐F-AEC的表面積．

Answer 1

分析 （1）證明AE⊥平面B₁BCC₁，則AE⊥BC₁，證明BC₁⊥GE，因為GE∩AE=E，所以BC₁⊥平面AEG；
（2）證明CD⊥平面A₁ABB₁，所以CD⊥A₁D，利用條件求出AB，即可求三棱錐F-AEC的表面積．

解答 （1）證明：如圖，因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AE⊥BC，又BC∩BB₁=B，
所以AE⊥平面B₁BCC₁，則AE⊥BC₁，…（3分）
連接B₁C，易知四邊形B₁BCC₁為正方形，則BC₁⊥B₁C，
又GE∥B₁C，則BC₁⊥GE，因為GE∩AE=E，所以BC₁⊥平面AEG．…（6分）

（2）解：因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CD⊥AA₁，
所以CD⊥平面A₁ABB₁，所以CD⊥A₁D．…（7分）
設AB=a，由題意，∠CA₁D=45°，所以CD=A₁D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AA₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴${V}_{C-{A}_{1}{B}_{1}BD}$=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{1}{2}•\frac{3}{2}a•\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴a=2，
故三棱錐F-AEC的表面積$S=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{1}{2}×2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{\frac{2}{4}+1}+\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質，考查三棱錐體積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．