10.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d為奇函數(shù),且在x=-1處取得最大值2
(1)求f(x)的解析式;
(2)過點A(1,t)(t≠-2)可作函數(shù)f(x)圖象的三條切線,求實數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),可得f(-x)+f(x)=0,可得b=d=0.由f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c,在x=-1處取得最大值2,則$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}(-1)=3a+c=0}\\{-a-c=2}\end{array}\right.$,解得即可得出;
(2)設(shè)切點為(x0,y0),則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={x}_{0}^{3}-3{x}_{0}}\\{\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-1}=3{x}_{0}^{2}-3}\end{array}\right.$,消去y可得,t=-2${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-3,令u(x)=-2x3+3x2-3,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)u(x)的單調(diào)性極值即可得出.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),
∴f(-x)+f(x)=0,2bx2+d=0恒成立,可得b=d=0.
∴f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c,
∵在x=-1處取得最大值2,則$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}(-1)=3a+c=0}\\{-a-c=2}\end{array}\right.$,
解得a=1,c=-3.
∴f(x)=x3-3x.
(2)設(shè)切點為(x0,y0),
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={x}_{0}^{3}-3{x}_{0}}\\{\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-1}=3{x}_{0}^{2}-3}\end{array}\right.$,消去y可得,t=-2${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-3,
令u(x)=-2x3+3x2-3,u′(x)=-6x2+6x=-6x(x-1),
令u′(x)=0,解得x=0,1.
則函數(shù)u(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增.
u(0)=-3,u(1)=-2.
過點A(1,t)(t≠-2)可作函數(shù)f(x)圖象的三條切線,
則t的取值范圍是(-3,-2).

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、切線方程,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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