分析 (1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,將A,B,C帶入構(gòu)造方程組,可求出a,b,c的值,得到拋物線的解析式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P(5,3),使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.
解答 解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
∵A(1,0)B(0,3)C(-4,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ c=3\\ 16a-4b+c=0\end{array}\right.$,
解得:a=-$\frac{3}{4}$,b=-$\frac{9}{4}$,c=3,
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x2-$\frac{9}{4}$x+3;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,理由為:
∵OB=3,OC=4,OA=1,∴BC=AC=5,當(dāng)BP平行且等于AC時(shí),四邊形ACBP為菱形,
∴BP=AC=5,且點(diǎn)P到x軸的距離等于OB,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3),
當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí),以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形,
則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,3)時(shí),以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形
點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | 1 | D. | 2 |
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