Question

15．如圖，四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{3}$ED=1．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的正切值；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出二面角E-AC-D的平面角為∠EOD，由此能求出二面角E-AC-D的正切值．
（Ⅱ）作MN∥ED，推導(dǎo)出AMNF是平行四邊形，從而AM∥FN，進(jìn)而得到AM∥平面BEF．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，
由AC⊥OD，AC⊥DE，OD∩DE=D，
得AC⊥OE，
∴二面角E-AC-D的平面角為∠EOD，
∵AF=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{3}$ED=1，
∴tan∠EOD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角E-AC-D的正切值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅱ）$BM=\frac{1}{3}BD$時，AM∥平面BEF，理由如下：
作MN∥ED，則$MN\underline{\underline∥}\frac{1}{3}ED$，
∵AF∥DE，DE=3AF，∴$AF\underline{\underline∥}MN$，
∴AMNF是平行四邊形，
∴AM∥FN，
∵AM?平面BEF，F(xiàn)N?平面BEF，
∴AM∥平面BEF．

點(diǎn)評 本題考查二面角的正切值的求法，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．