Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1-x}{1+{x}^{2}}{e}^{x}$．
（Ⅰ）求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時(shí)，x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），求出切線斜率，即可求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時(shí)，不妨設(shè)x₁＜x₂．由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．利用導(dǎo)數(shù)先證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x₂∈（0，1），可得f（x₂）＜f（-x₂）．即f（x₁）＜f（-x₂）．由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，因此得證．

解答 （Ⅰ）解：∵$f（x）=\frac{1-x}{1+{x}^{2}}{e}^{x}$，
∴f′（x）=$\frac{-x[（x-1）^{2}+2]}{（1+{x}^{2}）^{2}}{e}^{x}$，
∴f′（0）=0，f（0）=1
∴f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＜1時(shí)，由于$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}$＞0，e^x＞0，得到f（x）＞0；
同理，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時(shí)，不妨設(shè)x₁＜x₂．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證$\frac{1-x}{1+{x}^{2}}$＜$\frac{1+x}{1+{x}^{2}}{e}^{-x}$．
此不等式等價(jià)于（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
令g（x）=（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，則g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
從而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化問題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．