分析 (1)構(gòu)造四邊形GMCD是平行四邊形,利用線線平行,證明線面平行,從而證明DG∥平面A1EF;
(2)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,求出DH,建立坐標(biāo)系,求出直線BH與截面A1EFH所成角的正弦值.
解答 (1)證明:如圖所示,
設(shè)M為BB1上一點,且BM=2,連接MG、MC,易得GM∥DC,且GM=DC,
∴四邊形GMCD是平行四邊形,
∴DG∥CM;
在矩形B1C1CB中,C1E=C1F=1,BC=BM=2,
∴∠MCF=∠EFC=45°,∴FE∥CM,∴DG∥FE;
又DG?平面A1EF,F(xiàn)E?平面A1EF
∴DG∥平面A1EF;
(2)解:∵DG∥平面A1EF,DG?平面AA1D1D,
平面AA1D1D∩平面A1EF=A1H,
∴DG∥A1H,∴DH=A1G=1;
建立如圖所示的坐標(biāo)系,則E(2,1,0),F(xiàn)(2,2,1),B(2,0,3),
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=(2,1,0),$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=(2,2,1)
設(shè)平面A1EF的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{2x+2y+z=0}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{n}$=(1,-2,2),
∵$\overrightarrow{BH}$=(-2,2,-1),
∴直線BH與截面A1EFH所成角的正弦值=|$\frac{-2-4-2}{\sqrt{1+4+4}•\sqrt{4+4+1}}$|=$\frac{8}{9}$.
點評 本題考查了空間中的線線與線面平行的應(yīng)用問題,也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問題,是綜合性題目.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{3}{8}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{5}{8}$ |
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A. | (-1,0) | B. | (0,-1) | C. | (-$\frac{1}{16}$,0) | D. | (0,-$\frac{1}{16}$) |
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A. | $3\sqrt{2}$ | B. | $2\sqrt{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$+1 | D. | $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$ |
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