Question

2．（理科）在一次籃球定點投籃訓練中，規(guī)定每人最多投3次，在A處每投進一球得3分；在B處每投進一球得2分，如果前兩次得分之和超過3分就停止投籃；否則投第3次，某同學在A處的抽中率q₁=0.25，在B處的抽中率為q₂，該同學選擇現(xiàn)在A處投第一球，以后都在B處投，且每次投籃都互不影響，用X表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為：

X	0	2	3	4	5
P	0.03	P2	P3	P4	P5

（1）求q₂的值；
（2）求隨機變量X的數(shù)學期望E（X）；
（3）試比較該同學選擇上述方式投籃得分超過3分與選擇都在B處投籃得分超過3分的概率的大小．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，X=0對應的事件為“三次投籃沒有一次投中”，由此能求出結果．
（2）根據(jù)題意X的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出E（X）．
（3）用C表示事件“該同學在A處投第一球，以后都在B處投，得分超過3分”，用D表示事件“該同學都在B處投，得分超過3分”，由此能示出該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率的大于該同學在A處投第一球，以后都在B處投，得分超過3分的概率．

解答 解：（1）由題意可知，X=0對應的事件為“三次投籃沒有一次投中”，
∴P（X=0）=（1-q₁）（1-q₂）²=0.03，
∵q₁=0.25，解得q₂=0.8．
（2）根據(jù)題意${p}_{1}=p（X=2）=0.75×{C}_{2}^{1}×0.2×0.8=0.24$，
${p}_{2}=p（X=3）=0.25×0．{2}^{2}=0.01$，
p₃=p（X=4）=0.75×0.8²=0.48，
p₄=p（X=5）=0.24，
∴E（X）=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“該同學在A處投第一球，以后都在B處投，得分超過3分”，
用D表示事件“該同學都在B處投，得分超過3分”，
則P（C）=P（X=4）+P（X=5）=0.48=24，
P（D）=0.8²+C${\;}_{2}^{1}$×0.2×0.8²=0.896，
∴P（D）＞P（C），
即該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率的大于該同學在A處投第一球，以后都在B處投，得分超過3分的概率．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．