【題目】已知橢圓:的短軸長為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線,被橢圓截得的弦長;
(3)若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
【答案】(1)橢圓的方程:(2)(3)見解析,
【解析】
(1)根據(jù)橢圓短軸長公式和離心率公式進行求解即可;
(2)求出過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線方程,將與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合橢圓弦長公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可;
(3)根據(jù)以為直徑的圓過橢圓的右頂點,可以得到向量的數(shù)量積為零,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用一元二次方程根與系數(shù)進行求解即可.
(1)因為橢圓:的短軸長為,離心率為,
所以有且,而,解得,因此橢圓的標準方程為:;
(2)因為,所以橢圓的右焦點坐標為,因此過橢圓的右焦點且傾斜角為135°的直線方程是,
因此有因此設(shè)交點坐標分別為,因此有,因此有
,
所以直線被橢圓截得的弦長為;
(3)設(shè),由題意可知,設(shè)橢圓右頂點的坐標為:,因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點,所以有
,
即.
直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:
因此,
因此由可得:,化簡得:
,或
當時,直線方程為該直線恒過點這與已知矛盾,故舍去;
當時,直線方程為該直線恒過點,綜上所述:直線過定點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為:.
(1)求直線和曲線的直角坐標方程;
(2),直線和曲線交于、兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新高考取消文理科,實行“”模式,成績由語文、數(shù)學、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況,隨機調(diào)查50人,并把調(diào)查結(jié)果制成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 15 | 10 | 10 | 5 | 5 |
了解 | 4 | 12 | 6 | 5 | 2 | 1 |
(1)把年齡在稱為中青年,年齡在稱為中老年,請根據(jù)上表完成列聯(lián)表,是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡(中青年、中老年)有關(guān)?
了解新高考 | 不了解新高考 | 總計 | |
中青年 | |||
中老年 | |||
總計 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)若從年齡在的被調(diào)查者中隨機選取3人進行調(diào)查,記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為,求的分布列以及.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過,則該養(yǎng)殖場考核為合格,該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 |
月養(yǎng)殖量/千只3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 12 |
月利潤/十萬元 | 3.6 | 4.1 | 4.4 | 5.2 | 6.2 | 7.5 | 7.9 | 9.1 |
生豬死亡數(shù)/只 | 29 | 37 | 49 | 53 | 77 | 98 | 126 | 145 |
(1)從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月,求恰好有2個月考核獲得合格的概率;
(2)根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù),求出月利潤y(十萬元)關(guān)于月養(yǎng)殖量x(千只)的線性回歸方程(精確到0.001).
(3)預計在今后的養(yǎng)殖中,月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從(2)中的關(guān)系,若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只,試估計:該月利潤約為多少萬元?
附:線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下:,
參考數(shù)據(jù):.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線和曲線交于A,B兩點(點A在第二象限).過A作斜率為的直線交曲線M于點C(不同于點A),過點作斜率為的直線交曲線于E,F兩點,且.
(I)求的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)的面積為S,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=|lnx|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. (0,)B. (,e)C. (,)D. (0,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某國營企業(yè)集團公司現(xiàn)有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了激化內(nèi)部活力,增強企業(yè)競爭力,集團公司董事會決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出()名員工從事第三產(chǎn)業(yè);調(diào)整后,他們平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元,剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高%.
(Ⅰ)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?
(Ⅱ)在(1)的條件下,若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,則實數(shù)的取值范圍是多少?
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