2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知c=3,且sin(C-$\frac{π}{6}$)•cosC=$\frac{1}{4}$.
(1)求角C的大小;
(2)若向量$\overrightarrow{m}$=(1,sinA)與$\overrightarrow{n}$=(2,sinB)共線,求a、b的值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡sin(C-$\frac{π}{6}$)•cosC=$\frac{1}{4}$,即可求出C的值;
(2)根據(jù)向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$共線,得出sinB=2sinA,即b=2a①;
由余弦定理得出a2+b2-ab=9②,①②聯(lián)立解得a、b的值.

解答 解:(1)sin(C-$\frac{π}{6}$)•cosC=(sinCcos$\frac{π}{6}$-cosCsin$\frac{π}{6}$)•cosC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinCcosC-$\frac{1}{2}$cos2C
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2C-$\frac{1+cos2C}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin(2C-$\frac{π}{6}$)-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$,
∴sin(2C-$\frac{π}{6}$)=1;
又0<C<π,
∴-$\frac{π}{6}$<2C-$\frac{π}{6}$<$\frac{11π}{6}$,
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$,
解得C=$\frac{π}{3}$;
(2)向量$\overrightarrow{m}$=(1,sinA)與$\overrightarrow{n}$=(2,sinB)共線,
∴2sinA-sinB=0,
∴sinB=2sinA,
即b=2a①;
又c=3,C=$\frac{π}{3}$,
∴c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=9②;
由①②聯(lián)立解得a=$\sqrt{3}$,b=2$\sqrt{3}$.

點評 本題考查了三角恒等變換以及向量共線定理和正弦、余弦定理的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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