Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a交于A、B兩點(diǎn)，記A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂，證明：x₁+x₂＜lna²．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可證明不等式．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R遞增，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
故f（x）在（-∞，lna）遞減，在（lna，+∞）遞增；
（2）∵f（x）有兩個(gè)相異零點(diǎn)，
∴設(shè)e^x₁=ax₁，e^x₂=ax₂，①
即e^x₁e^x₂=e^x₁+x₂=a²x₁x₂，
而：x₁+x₂＜2lna，等價(jià)于：e^x1+x₂＜e^2lna=elna²=a²，
即a²x₁x₂＜a²，
則等價(jià)為x₁x₂＜1，
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）=e^x-a＞0，還是單調(diào)遞增，則不滿足條件．
則a＞0，
由f′（x）＞0得x＞lna，
由f′（x）＜0得x＜lna，
即當(dāng)x=lna時(shí)，還是f（x）取得極小值同時(shí)也是最小值f（lna）=e^lna-alna=a（1-lna），
∵f（x）=a有兩個(gè)根，∴a（1-lna）＜0，
即1-lna＜0，則lna＞1，即a＞e．
要證x₁+x₂＜2lna，則只需要x₂＜2lna-x₁，
又x₂＞lna，則只需要證明f（x₂）＜f（2lna-x₁），
即證f（2lna-x₁）＞f（x₂）=0=f（x₁），
令g（x）=f（2lna-x）-f（x），（x＜lna），
則g（x）=e^2lna-x-a（2lna-x）-e^x+ax，
g′（x）=-a²e^-x+a-e^x+a=-+$\frac{{{（e}^{x}-a）}^{2}}{{e}^{x}}$≤0，
即g（x）在（-∞，lna]上單調(diào)遞減，
即g（x）＞g（lna）=0，
則命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．