Question

4．設(shè)拋物線x²=2py （P＞0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B，A，B，M的橫坐標(biāo)分別為X_A，X_B，X_M則（　�。�

• A． X_A+X_B=2X_M
• B． X_A•X_B=X${\;}_{M}^{2}$
• C． $\frac{1}{{X}_{A}}$+$\frac{1}{{X}_{B}}$=$\frac{2}{{X}_{M}}$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，對拋物線的方程進行求導(dǎo)，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直線方程和直線MB的方程，聯(lián)立求得2x_M=x_A+x_B，即可得出結(jié)論．

解答 解：由x²=2py得y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，得y′=$\frac{x}{p}$，
所以直線MA的方程為y+2p=$\frac{{x}_{A}}{p}$（x-x_M），直線MB的方程為y+2p=$\frac{{x}_{B}}{p}$（x-x_M），
所以，$\frac{{{x}_{A}}^{2}}{2p}$+2p=$\frac{{x}_{A}}{p}$（x_A-x_M）①，$\frac{{{x}_{B}}^{2}}{2p}$+2p=$\frac{{x}_{A}}{p}$（x_B-x_M）②
由①、②得2x_M=x_A+x_B．
故選A．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學(xué)生知識的靈活運用的能力和基本的計算的能力，屬于中檔題．