Question

5．已知函數(shù)f（x）=cosx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，a=1，b=3，若f（C）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最小值．
（Ⅱ）根據(jù)f（C）=1，求出C，根據(jù)△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$可得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=\frac{1}{2}+sin（2x+\frac{π}{6}）$
當(dāng)$sin（2x+\frac{π}{6}）=-1$時(shí)，f（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}$．
故f（x）的最小值為$-\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∴$f（C）=\frac{1}{2}+sin（2C+\frac{π}{6}）=1$，
∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴$2C+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，
∴$C=\frac{π}{3}$．
∵a=1，b=3，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
所以△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，以及三角形面積的求法；利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．