Question

17．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程|f（x）•（2^x+1）|=m有1個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=|f（x）•（2^x+1）|，g（x）=m，則m=0或m≥1，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=1-$\frac{4}{2{a}^{x}+a}$（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即1-$\frac{4}{2+a}$=0，∴a=2；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=|f（x）•（2^x+1）|，g（x）=m，如圖所示，
m=0或m≥1，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程|f（x）•（2^x+1）|=m有1個(gè)實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m=0或m≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的圖象，正確作出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．