19.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)上的一動(dòng)點(diǎn)P到左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為2$\sqrt{2}$,點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為$\sqrt{2}$+1
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過右焦點(diǎn)F2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)
①若y軸上是否存在一點(diǎn)M(0,$\frac{1}{3}$)滿足|MA|=|MB|,求直線l斜率k的值;
②是否存在這樣的直線l,使S△ABO的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求直線l的方程;若不存在,說明理由.

分析 (I)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知,2a=2$\sqrt{2}$,a=$\sqrt{2}$,b2=a2-c2=1,即可求得橢圓方程;
(II)設(shè)直線l的方程為:y=k(x-1),代入橢圓方程,則x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$,由弦長(zhǎng)公式可知$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x1-x2丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}(1+{k}^{2})}{1+2{k}^{2}}$,
①設(shè)直線方程,聯(lián)立,得到中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)|MA|=|MB|,得到MG所在的直線與直線l垂直,根據(jù)兩直線斜率之積為-1,即可求得直線l斜率k的值;
②分成斜率存在和不存在兩種情況討論,分別求得弦長(zhǎng)丨AB丨,原點(diǎn)到直線的距離,進(jìn)而求得面積的表達(dá)式,根據(jù)不等式即可得到結(jié)果.

解答 解:(I)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的焦點(diǎn)在x軸上,由P到左、右焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為2$\sqrt{2}$,
根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知,2a=2$\sqrt{2}$,a=$\sqrt{2}$,…1分
點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為a+c=$\sqrt{2}$+1
∴c=1,
b2=a2-c2=1,…2分
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;…3分
(II)由(Ⅰ)可知:F2(1,0),設(shè)直線l的方程為:y=k(x-1),A (x1,y1),B (x2,y2),
聯(lián)立直線與橢圓方程得:$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$,
∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$,
丨x1-x2丨=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$,…4分
①由AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為G($\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,-$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$),…5分
當(dāng)k≠1時(shí),由|MA|=|MB|,得到MG所在的直線與直線l垂直,
由MG所在的直線斜率為$\frac{-\frac{k}{1+2{k}^{2}}-\frac{1}{3}}{\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-0}$=$\frac{-2k-1-2{k}^{2}}{6{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$,解得:k=1或k=$\frac{1}{2}$;…7分
當(dāng)k=0時(shí),AB的中垂線所在的直線的方程為x=0,滿足題意,
綜上所述,斜率k的取值為0,$\frac{1}{2}$,1;…8分
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),此時(shí)A(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),B(1,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),得到丨AB丨=$\sqrt{2}$,
∴S△ABO=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,…9分
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x1-x2丨=$\frac{2\sqrt{2}(1+{k}^{2})}{1+2{k}^{2}}$,…10分

原點(diǎn)到直線l的距離為d=$\frac{丨k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,…11分
∴S△ABO=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\sqrt{2}$丨AB丨•d=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{4(1+2{k}^{2})^{2}}}$,…12分
由$\frac{1}{4(1+2{k}^{2})^{2}}$>0,
所以S△ABO<$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
綜上所述,S△ABO的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以滿足題意的直線存在,方程為x=1…14分

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查弦長(zhǎng)公式,韋達(dá)定理,點(diǎn)到直線的距離公式,考查三角形面積公式的綜合應(yīng)用,考查橢圓與不等式的綜合應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.050的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系?
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 P(K2≥k0 0.10 0.050.010 
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9.已知某公司生產(chǎn)一種儀器元件,年固定成本為20萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件儀器元件需另外投入8.1萬(wàn)元,設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)此種儀器元件x萬(wàn)件并全部銷售完,每萬(wàn)件的銷售收入為f(x)萬(wàn)元,且
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