14.已知A=$\frac{3}{{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}}}$,B=$\frac{p+q+s}{3}$( p,q,s∈(0,+∞))
(Ⅰ)分別就$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}$和$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}$判斷A與B的大小關(guān)系,并由此猜想:對(duì)于任意的正數(shù)p,q,s,A與B的大小關(guān)系及等號(hào)成立的條件;
(Ⅱ)請(qǐng)證明你的猜想.

分析 (1)計(jì)算$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}\right.$和$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}\right.$時(shí),對(duì)應(yīng)A的值,由此猜想:A≤B,當(dāng)且僅當(dāng)p=q=s時(shí)取得等號(hào);
(2)用分析法證明結(jié)論成立即可.

解答 解:(1)當(dāng)$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=1}\\{s=1}\end{array}}\right.$時(shí),A=B=1,…(1分)
當(dāng)$\left\{{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\\{s=1}\end{array}}\right.$時(shí),$A=\frac{6}{5}<B=\frac{4}{3}$;…(3分)
對(duì)于任意的p,q,s∈(0,+∞),
猜想:A≤B,當(dāng)且僅當(dāng)p=q=s時(shí)取得等號(hào);…(6分)
(2)證明如下:對(duì)于p,q,s∈(0,+∞),
要證$\frac{3}{{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}}}≤\frac{p+q+s}{3}$成立,…(7分)
只需證:$9≤(p+q+s)(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s})$,
只需證:$9≤3+\frac{p}{q}+\frac{p}{s}+\frac{q}{p}+\frac{q}{s}+\frac{s}{p}+\frac{s}{q}$,
即證:$6≤(\frac{p}{q}+\frac{q}{p})+(\frac{p}{s}+\frac{s}{p})+(\frac{q}{s}+\frac{s}{q})$(*);…(10分)
∵對(duì)于p,q,s∈(0,+∞),有$\frac{p}{q}+\frac{q}{p}≥2$,
同理:$\frac{p}{s}+\frac{s}{p}≥2,\frac{q}{s}+\frac{s}{q}≥2$;
∴不等式(*)顯然成立;…(11分)
要使(*)的等號(hào)成立,必須p=q=s時(shí)等號(hào)成立;
 所以原不等式成立.…(12分)
(其他證明方法酌情給分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了推理與證明的應(yīng)用問題,也考查了歸納猜想的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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4.已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,AB=2PA,E是線段BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線PE和CD所成的角的余弦值;
(Ⅱ)求平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段PD上是否存在一點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE,并給出證明.

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5.設(shè)A1,A2,A3,…,An是集合{1,2,3,…,n}的n個(gè)非空子集(n≥2),定義aij=$\left\{\begin{array}{l}{0{,A}_{i}∩{A}_{j}=∅}\\{1,{A}_{i}∩{A}_{j}≠∅}\end{array}\right.$,其中i,j=1,2,…,n,這樣得到的n2個(gè)數(shù)之和記為S(A1,A2,A3,…,An),簡(jiǎn)記為S,下列三種說法:①S與n的奇偶性相同;②S是n的倍數(shù);③S的最小值為n,最大值為n2.其中正確的判斷是( 。
A.①②B.①③C.②③D.

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2.若函數(shù)y=ax+cosx是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的范圍是[1,+∞).

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9.已知某公司生產(chǎn)一種儀器元件,年固定成本為20萬元,每生產(chǎn)1萬件儀器元件需另外投入8.1萬元,設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)此種儀器元件x萬件并全部銷售完,每萬件的銷售收入為f(x)萬元,且
f(x)=$\left\{\begin{array}{l}32.4-\frac{1}{10}{x^2}(0<x≤10)\\ \frac{324}{x}-\frac{1000}{x^2}(x>10)\end{array}$
(Ⅰ)寫出年利潤(rùn)y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)品x(萬件)的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí),該公司生產(chǎn)此種儀器元件所獲年利潤(rùn)最大?
(注:年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本)

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19.設(shè)凸k(k≥3且k∈N)邊形的對(duì)角線的條數(shù)為f(k),則凸k+1邊形的對(duì)角線的條數(shù)為f(k+1)=f(k)+( 。
A.k-1B.kC.k+1D.k2

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