Question

6．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期及對(duì)稱中心；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期的定義和對(duì)稱中心的定義即可求出，
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）：f（x）=（cos⁴x-sin⁴x）-2sinx•cosx=（cos²x-sin²x）-sin2x
=cos2x-sin2x=cos（2x+$\frac{π}{4}$）． 
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π． 
∴2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴x=$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
∴對(duì)稱中心（$\frac{k}{2}$π+$\frac{π}{8}$，0），k∈Z，
（2）令2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z，
∴kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，$\frac{3π}{8}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，二倍角公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．