11.已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a為實數(shù)).
(1)當a=5時,求函數(shù)y=g(x)在x=1處的切線方程;
(2)求f(x)在區(qū)間[t,t+2](t>0)上的最小值.

分析 (1)求出切點坐標,函數(shù)的導數(shù),求出切線的斜率,然后求解切線方程.
(2)求出函數(shù)的定義域,函數(shù)的導數(shù),通過導函數(shù)的符號,判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后求解函數(shù)的最值.

解答 解:(1)當a=5時,
g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.
又g′(x)=(-x2+3x+2)ex,故切線的斜率為g′(1)=4e.
所以切線方程為:y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=ln x+1,
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x(0,$\frac{1}{e}$)$\frac{1}{e}$($\frac{1}{e}$,+∞)
f′(x)-0+
f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增
①當t≥$\frac{1}{e}$時,在區(qū)間[t,t+2]上f(x)為增函數(shù),所以f(x)min=f(t)=tln t.
②當0<t<$\frac{1}{e}$時,在區(qū)間[t,$\frac{1}{e}$)上f(x)為減函數(shù),在區(qū)間$(\frac{1}{e},t+2]$上f(x)為增函數(shù),
所以f(x)min=f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$.

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,切線方程,以及函數(shù)的最值的求法,考查轉化思想以及計算能力.

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(3)當a=0,b=-1時,方程f(x)=mx在區(qū)間[1,e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.

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