5.已知函數(shù)f(x)=alnx-x(a∈R).
(Ⅰ)若直線y=2x+b是函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出$f'(x)=\frac{a}{x}-1$,x>0,利用切線方程斜率關(guān)系求出a,然后求解b.
(Ⅱ)解1:當(dāng)a<0時(shí),不滿足題意,當(dāng)a=0時(shí),判定滿足題意;當(dāng)a>0時(shí),通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系求出函數(shù)的最值,即可得到a的范圍.
解2:轉(zhuǎn)化函數(shù)恒成立為$\frac{alnx}{x}≤1$成立,設(shè)$g(x)=\frac{alnx}{x},x>0$,
當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)a=0時(shí),分別判斷是否滿足題意,當(dāng)a>0時(shí),則$g'(x)=\frac{a(1-lnx)}{x^2}$,利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,求解函數(shù)的最值,得到a的范圍即可.

解答 (本小題12分)
(Ⅰ)解:因?yàn)?f'(x)=\frac{a}{x}-1$,x>0.----------------------------------------------------------(2分)
由已知可得f'(1)=a-1=2,解得a=3.----------------------------------------(3分)
因?yàn)閒(1)=-1,所以-1=2+b,解得b=-3.--------------------------------(4分)
(Ⅱ)解1:當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)?f({e^{\frac{2}{a}}})=2-{e^{\frac{2}{a}}}>0$,所以不合題意.----------------------(6分)
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-x對(duì)任意x∈(0,+∞),都有f(x)≤0成立.--------(7分)
當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=a,f'(x),f(x)情況如下:

x(0,a)a(a+∞)
f'(x)+0-
f(x)極大值
------------------------------(9分)
所以f(x)的最大值為f(a).--------------------------------------(10分)
所以,依題意有f(a)=alna-a=a(lna-1)≤0,------------------------(11分)
因?yàn)閍>0,所以lna≤1,即a≤e.
綜上,所求a的取值范圍為[0,e].----------------------------------------------(12分)
解2:對(duì)任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤0成立,即$\frac{alnx}{x}≤1$成立,
設(shè)$g(x)=\frac{alnx}{x},x>0$,
當(dāng)a<0時(shí),因?yàn)?g({e^{\frac{1}{a}}})={e^{-\frac{1}{a}}}>1$,顯然$\frac{alnx}{x}≤1$不恒成立.---------------(6分)
當(dāng)a=0時(shí),不等式顯然成立.-----------------------------------------------------(7分)
當(dāng)a>0時(shí),則$g'(x)=\frac{a(1-lnx)}{x^2}$,g'(x),g(x)的情況如下:
      x(0,e)e(e+∞)
g'(x)+0-
g(x)極大值
-------------------------------(9分)
所以g(x)的最大值為g(e)=ae-1,--------------------------------------------(10分)
故只需ae-1≤1,即a≤e.---------------------------------------------------------(11分)
綜上,所求a的取值范圍為[0,e].----------------------------------------------(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,切線方程的求法,考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,考查構(gòu)造法的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.

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