Question

17．設(shè)銳角三角形ABC的三內(nèi)角為A，B，C所對的邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos²x．
（Ⅰ）求f（A）的取值范圍；
（Ⅱ）若f（A）=$\frac{1}{4}$，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，結(jié)合范圍A∈（0，$\frac{π}{2}$），可求2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f（A）的取值范圍；
（Ⅱ）由題意可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合范圍2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可求A，利用三角形面積公式可求bc的值，利用平面向量數(shù)量積的運算即可計算得解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（Ⅰ）f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-cos²x
=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{4}$（1+cos2x）-$\frac{1+cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{4}$，--------------------------6分
因為是銳角三角形，
所以A∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
所以f（A）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$]；----8分
（Ⅱ）因為f（A）=$\frac{1}{4}$，
所以sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
又因為：2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
所以：2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$．--------------------10分
又△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，所以bc=1．-------------------12分
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}$．------------------14分．

點評 本題主要考查了用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．