Question

18．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質定理得到PF⊥FD；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案

解答 解：（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，PD?平面ABCD，所以PA⊥FD，
連接AF，易知AF=DF=$\sqrt{2}$，所以AF²+DF²=AD²，從而AF⊥FD，
又因為AF∩PA=A，AF?平面PAF，PA?平面PAF，
所以FD⊥平面PAF，又因為PF?平面PAF，所以；PF⊥FD．
（2）因為PB與平面ABCD所成的角為45⁰，所以∠PBA=45°，AD=AB=1．
過F做FM⊥AD于M，過點M做MN⊥PD于N，則∠MNF就是二面角A-PD-F的平面角，
事實上FM⊥AD，F(xiàn)M⊥AP，PA∩AD=A，
所以FM⊥平面PAD，PD?平面PAD，∴FM⊥PD，又 MN⊥PD，
MN?平面MNF，MF?平面MNF，MN∩FM=M，∴PD⊥平面MNF．
其中FM=AB=1，MN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，NF=$\sqrt{F{M}^{2}+M{N}^{2}}=\frac{\sqrt{30}}{5}，cos∠MNF=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-PD-F的余弦值為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了求平面間的夾角，空間直線與直線之間的位置關系，解法有向量法和幾何法，幾何法的關鍵是熟練掌握空間線面關系的判定，性質．屬于中檔題．