Question

19．在平面直角坐標系xOy 中，橢圓G的中心為坐標原點，左焦點為F₁（-1，0），離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓G 的標準方程；
（2）已知直線l₁：y=kx+m₁與橢圓G交于 A，B兩點，直線l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）與橢圓G交于C，D兩點，且|AB|=|CD|，如圖所示．
①證明：m₁+m₂=0；
②求四邊形ABCD 的面積S 的最大值．

Answer 1

分析 （1）由焦點坐標及離心率可求得a、b、c即可．
（2）①利用弦長公式及韋達定理，表示出由|AB|、|CD|，由|AB|=|CD|得到m₁+m₂=0，
②邊形ABCD 是平行四邊形，設AB，CD間的距離d=$\frac{|{m}_{1}-{m}_{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
由m₁+m₂=0得s=|AB|×d=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}•$×$\frac{|2{m}_{1}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$≤4\sqrt{2}\frac{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1+{{m}_{1}}^{2}}{2}}{1+2{k}^{2}}=2\sqrt{2}$．即可．

解答 解：（1）設橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）
∵左焦點為F₁（-1，0），離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1
橢圓G 的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
①證明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+{m}_{1}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y得（1+2k²）x²+4km₁x+2m₁²-2=0
$△=8（2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1）＞0$，
x₁+x₂=$\frac{-4k{m}_{1}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{{m}_{1}}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$；
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$；

同理|CD|=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{2}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$，
由|AB|=|CD|得2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{2}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$，
∵m₁≠m₂，∴m₁+m₂=0
②四邊形ABCD 是平行四邊形，設AB，CD間的距離d=$\frac{|{m}_{1}-{m}_{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∵m₁+m₂=0，∴$d=\frac{|2{m}_{1}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴s=|AB|×d=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}•$×$\frac{|2{m}_{1}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$≤4\sqrt{2}\frac{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1+{{m}_{1}}^{2}}{2}}{1+2{k}^{2}}=2\sqrt{2}$.$4\sqrt{2}•\frac{\sqrt{（2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1）{{m}_{1}}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$
所以當2k²+1=2m₁²時，四邊形ABCD 的面積S 的最大值為2$\sqrt{2}$

點評 本題考查了橢圓的方程，弦長公式、韋達定理、運算能力，屬于中檔題．