Question

19．已知函數(shù)g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的圖象恒過定點A，且點A又在函數(shù)$f（x）={log_{\sqrt{3}}}$（x+a）的圖象上．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）當(dāng)方程|g（x+2）-2|=2b有兩個不等實根時，求b的取值范圍；
（3）設(shè)a_n=g（n+2），b_n=$\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}，n∈{N^*}$，求證：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜$\frac{1}{3}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)g（x）的圖象過定點A，代入函數(shù)解析式求出a的值即可；
（2）畫出函數(shù)y=|2^x-1|和y=2b的圖象，結(jié)合圖形即可得出b的取值范圍；
（3）根據(jù)題意寫出a_n、b_n的通項公式，利用裂項法求b₁+b₂+b₃+…+b_n即可．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）的圖象恒過定點A，A點的坐標為（2，2）；…2分
 又因為A點在f（x）上，則
$f（2）={log_{\sqrt{3}}}（2+a）=2$，
即2+a=3，
∴a=1；…4分
（2）|g（x+2）-2|=2b，
即|2^x+1-2|=2b，
∴|2^x-1|=2b；…6分
畫出y=|2^x-1|和y=2b的圖象，如圖所示；
由圖象可知：0＜2b＜1，
故b的取值范圍為$（{0，\frac{1}{2}}）$；…8分
（3）根據(jù)題意，得a_n=2ⁿ+1，
b_n=$\frac{{2}^{n}}{{（2}^{n}+1）{（2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$；…10分
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{17}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$＜$\frac{1}{3}$．…12分

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問題，是綜合性題目．