Question

9．已知雙曲線$M：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，|F₁F₂|=2c．若雙曲線M的右支上存在點(diǎn)P，使$\frac{a}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=\frac{3c}{{sin∠P{F_2}{F_1}}}$，則雙曲線M的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $（1，\frac{{2+\sqrt{7}}}{3}）$
• B． $（1，\frac{{2+\sqrt{7}}}{3}]$
• C． （1，2）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 利用正弦定理及雙曲線的定義，可得a，c的不等式，結(jié)合PF₂＞c-a，即可求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：由$\frac{a}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=\frac{3c}{{sin∠P{F_2}{F_1}}}$，
在△PF₁F₂中，由正弦定理可得
$\frac{P{F}_{2}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{P{F}_{1}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，
可得3c•PF₂=a•PF₁，且PF₁-PF₂=2a
聯(lián)立可得PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{3c-a}$＞0，即得3c-a＞0，即e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{1}{3}$，…①
又PF₂＞c-a（由P在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)且異于頂點(diǎn)），
∴PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{3c-a}$＞c-a，化簡可得3c²-4ac-a²＜0，
即3e²-4e-1＜0，得$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$＜e＜$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$…②
又e＞1，③
由①②③可得，e的范圍是（1，$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查正弦定理及雙曲線的定義，考查化簡整理的圓能力，屬于中檔題．