Question

1．已知點A（5，0）和拋物線y²=4x上的動點P點，點M在線段PA上且滿足|PM|=3|MA|，則點M的軌跡方程為y²=x-$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)P的坐標(biāo)為P（m，n），M坐標(biāo)（x，y），然后根據(jù)|PM|=3|MA|，推出向量關(guān)系，利用向量坐標(biāo)運算，化簡求解即可得答案．

解答 解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），M（x，y），點A（5，0）和拋物線y²=4x上的動點P點，|PM|=3|MA|，點M在線段PA上，$3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MP}$，3（x-5，y）=（m-x，n-y）
可得：$\left\{\begin{array}{l}{3x-15=m-x}\\{3y=n-y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4x-15}\\{n=4y}\end{array}\right.$
即點P坐標(biāo)為（4x-15，4y）
而點P在拋物線y²=4x上，
因此有（4y）²=4（4x-15），
即y²=x-$\frac{15}{4}$．
∴動點M的軌跡方程為：y²=x-$\frac{15}{4}$．
故答案為：y²=x-$\frac{15}{4}$．

點評 本題主要考查通過向量的有關(guān)運算求軌跡方程的問題．對向量的有關(guān)題型比如：求模、求夾角、求垂直以及平行等的問題一定要強化練習(xí)，是高考的熱點問題．